Có rất nhiều bất đẳng thức đáng nhớ trong toán học, nhưng đây là một vài bất đẳng thức nổi tiếng nhất:
- Bất đẳng thức tam giác: Tổng độ dài hai cạnh bất kỳ của một tam giác phải lớn hơn độ dài cạnh thứ ba.
- Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Tích độ dài của độ dài hai vectơ nhỏ hơn hoặc bằng tích các ước của chúng, trong đó ước của một vectơ là số đo độ dài của nó.
- Bất đẳng thức AM-GM: Trung bình cộng của tập hợp các số thực không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân hình học của tập hợp đó.
- Bất đẳng thức Bernoulli: Với mọi số thực dương x và mọi số nguyên không âm n, (1 + x)^n lớn hơn hoặc bằng 1 + nx.
- Bất đẳng thức Jensen: Đối với mọi hàm lõm f và phân phối xác suất P, giá trị kỳ vọng của f theo P lớn hơn hoặc bằng f(E[P]).
Đây chỉ là một vài ví dụ về nhiều bất đẳng thức đáng nhớ trong toán học. Những bất đẳng thức này có nhiều ứng dụng, từ hình học đến lý thuyết xác suất đến phân tích. Chúng cũng là những công cụ quan trọng để chứng minh các kết quả toán học khác.
Dưới đây là một số bất đẳng thức đáng nhớ khác đáng để biết:
- Bất đẳng thức Hölder: Với mọi số thực dương x, y và p, 0 < p < 1, bất đẳng thức x^p * y^(1 – p) <= (x + y)^p đúng.
- Bất đẳng thức Minkowski: Với mọi số thực không âm x1, x2, …, xn và p > 0, bất đẳng thức (|x1|^p + |x2|^p + … + |xn|^p)^ (1/p) <= (x1 + x2 + … + xn) giữ nguyên.
- Bất đẳng thức Young: Với mọi số thực dương x, y và a, b > 0, bất đẳng thức ab * (x/a + y/b)^2 <= 1 đúng.
Những bất đẳng thức này đều hữu ích để chứng minh các kết quả khác trong toán học và chúng cũng có ứng dụng trong các lĩnh vực khác, chẳng hạn như vật lý và kỹ thuật.
