Toán tăng giảm chiều dài chiều rộng là dạng toán nâng cao (dành cho học sinh khá giỏi) lớp 4 và lớp 5, đòi hỏi các em phân tích sâu hơn để giải toán.
Có đề bài cho biết chu vi, sau đó tăng hoặc giảm, hoặc đều tăng/ giảm hai cạnh, hỏi diện tích tăng/ giảm bao nhiêu?
Một số dạng bài toán và hướng dẫn giải
Ví dụ 1. Một miếng bìa hình bình hành có chu vi là 2m. Nếu bớt cạnh đi 20cm thì ta được miếng bìa hình thoi có diện tích 6dm2. Tìm diện tích miếng bìa hình bình hành đó.
Phân tích tìm hướng giải:
Trước hết cần thấy rằng các kích thước đã nêu trong bài chưa cùng đơn vị đo. Nên đổi về đơn vị đề-xi-mét để thuận lợi hơn khi tính toán.
Chu vi của hình thoi AMND tính được do đã biết chu vi hình bình hành ABCD và các đoạn MB, NC.
Hình thoi có 4 cạnh bằng nhau. Biết chu vi sẽ tính được số đo cạnh.
Tính được chiều cao của hình thoi AMND. Đây cũng chính là chiều cao hạ từ A của hình bình hành ABCD. Từ đó tính được diện tích.
Lời giải:
Đổi 2m = 20dm; 20cm = 2dm
Cạnh của hình thoi là:
(20 – 2 – 2 ) : 4 = 4 (dm)
Chiều cao hạ từ A xuống CD là:
6 : 4 = 1,5 (dm)
Cạnh AB là: 4 + 2 = 6 (dm)
Diện tích hình bình hành ABCD là:
1 ,5 x 6 = 9 (dm2)
Ví dụ 2. Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB dài 10cm có diện tích 210cm2. Kéo dài đáy lớn CD về phía C một đoạn CE = 8cm thì diện tích tăng thêm 60cm2. Tính độ dài đấy lớn CD.
Phân tích tìm hướng giải:
Nhận thấy chiều cao của hình thang ABCD cũng bằng chiều cao hạ từ B xuống cạnh CE của tam giác BCE. Tính được chiều cao này sau đó áp dụng công thức để tìm độ dài đáy lớn.
Lời giải:
Chiều cao hạ từ B của tam giác BCE (cũng là chiều cao của hình thang ABCD) là: 2 x 60 : 8 = 15 (cm)
Tổng hai đáy của hình thang ABCD là:
210 x 2 : 15 = 28 (cm)
Độ dài đáy lớn CD là:
28 -10 = 18 (cm)
Đáp số: 18cm
Ví dụ 3. Cô Trâm trồng hoa trên một thửa ruộng hình thang vuông có đáy lớn bằng 160m và chiều cao bằng 30m. Nếu mở rộng thửa ruộng thành mảnh đất hình chữ nhật mà vẫn giữ nguyên đáy lớn thì diện tích thửa ruộng tăng thêm 600m2. Hỏi cô Trâm bán được bao nhiêu tiền hoa trên thửa ruộng đó biết rằng trung bình mỗi hec-ta hoa bán được 140 000 000 đồng.
Phân tích tìm hướng giải.
Để tính được số tiền bán hoa của cô Trâm ta phải tìm được diện tích của thửa ruộng hình thang ABCD. Muốn tính được diện tích hình này, ta phải tìm ra độ dài đáy bé AB. Độ dài AB thì tính được bằng cách lấy AM trừ BM, AM chính là chiều dài của hình chữ nhật AMCD còn BM lại phải đi tìm.
Vì ABCD là hình thang vuông nên AD chính là chiều cao và cũng bằng với chiều cao kẻ từ C của tam giác MCB. Từ đó tính BM.
Lời giải:
Độ dài đoạn BM là:
600 x 2 : 30 = 40 (m)
Đáy bé AB dài là: 160 – 40 = 120 (m)
Diện tích của hình thang là:
(120 + 160) x 30 : 2 = 4200 (m2)
Đổi 4200m2 = 0,42ha.
Số tiền cô Trâm thu được trên thửa ruộng đó là:
0,42 x 140000000 = 58800000 (đồng)
Đáp số: 58 800 000 đồng.
Ví dụ 4. Một hình chữ nhật có chu vi 54cm. Nếu tăng chiều rộng thêm 2,5cm và giảm chiều dài 2,5cm thì được một hình vuông. Tính diện tích hình chữ nhật đó.
Phân tích tìm hướng giải.
Bài toán cho biết chu vi hình chữ nhật, từ đó có thể tính được tổng chiều dài và chiều rộng.
Khi tăng chiều rộng thêm 2,5cm và giảm chiều dài 2,5cm thì hai số đo mới sẽ bằng nhau (hình vuông là hình chữ nhật có chiều dài bằng chiều rộng) suy ra chiều dài hơn chiều rộng là:
2,5 + 2,5 = 5cm.
Bài toán thuộc dạng tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng.
Lời giải:
Nửa chu vi hình chữ nhật là: 54 : 2 = 27 (cm)
Tăng chiều rộng 2,5cm và giảm chiều dài 2,5cm thì được hình vuông. Vậy chiều dài hơn chiều rộng là:
2,5 + 2,5 = 5 (cm)
Chiều dài hình chữ nhật là:
(27 + 5) : 2 = 16 (cm)
Chiều rộng hình chữ nhật là:
27 – 16 = 11 (cm)
Diện tích hình chữ nhật ban đầu là:
16 x 11 = 176 (cm2).
Đáp số: 176cm2.
Ví dụ 5. Người ta mở rộng mảnh vườn hình vuông về bốn phía mỗi phía 4m. Sau khi mở rộng, diện tích mảnh vườn tăng thêm 192m2. Tìm diện tích mảnh vườn cũ.
Phân tích tìm hướng giải.
Ta có hình vẽ minh họa như sau
Chia phần diện tích tăng thêm 4 hình chữ nhật có chiều rộng 4m, chiều dài là cạnh hình vuông ban đầu cộng 4m. Bốn hình chữ nhật này có diện tích bằng nhau mà đề bài lại cho biết diện tích mảnh vườn tăng thêm 192m2 => tính được diện tích mỗi hình => tính được chiều dài hình chữ nhật => tính được cạnh hình vuông => tính được diện tích mảnh vườn cũ.
Lời giải:
Vì diện tích tăng thêm 192m2 nên diện tích mỗi hình chữ nhật là:
192 : 4 = 48 (m)
Chiều dài của mỗi hình chữ nhật này là:
48 : 4 = 12 (m)
Cạnh của hình vuông là:
12 – 4 = 8 (m)
Diện tích của mảnh vườn ban đầu là:
8 x 8 = 64 (m2)
Đáp số: 64m2.
Ví dụ 6. Một hình chữ nhật nếu tăng chiều rộng để bằng chiều dài của nó thì diện tích tăng thêm 20cm2, khi giảm chiều dài cho bằng chiều rộng thì diện tích giảm đi 16cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu?
Phân tích tìm hướng giải.
Nhìn vào hình vẽ, ta thấy
Khi tăng chiều rộng bằng chiều dài, diện tích tăng thêm 20cm2 chính là diện tích của hình chữ nhật DCFE.
Khi giảm chiều dài bằng chiều rộng, diện tích giảm đi 16cm2 chính là diện tích của hình chữ nhật GBCH.
Vẽ hình chữ nhật DHIE có các kích thước bằng với hình chữ nhật GBCH.
Hiệu diện tích của hình chữ nhật DCFE với hình chữ nhật DHIE là diện tích hình vuông HCFI có kích thước bằng hiệu chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu. Hình vuông này sẽ tính được cạnh từ đó, tìm được các kích thước còn lại của hình chữ nhật.
Lời giải:
Có HC = HI (cùng bằng hiệu chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu). Hiệu của diện tích tăng lên và diện tích giảm đi chính bằng diện tích của hình vuôn HCFI, hiệu đó là:
20 – 16 = 4 (cm2)
Do 4 = 2 x 2 nên độ dài cạnh HC là 2cm.
Cạnh DH hay chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là:
16 : 2 = 8 (cm)
Chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là:
8 + 2 = 10 (cm)
Diện tích hình chữ nhật ban đầu là:
8 x 10 = 80 (cm2)
Đáp số: 80cm2
Bài tập luyện tập.
Bài 1. Một miếng vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng 2 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 2m và giảm chiều dài 2m thì diện tích miếng vườn tăng thêm 12m2. Hỏi diện tích miếng vườn lúc đầu là bao nhiêu mét vuông?
Bài 2. Nếu cắt chiều dài của miếng bìa hình chữ nhật đi 2cm thì ta được một hình vuông thì chu vi 12cm. Tính diện tích miếng bìa hình chữ nhật.
Bài 3. Cho tam giác ABCD có đáy bé là AB, tổng độ dài hai đáy của hình thang là 44cm. Nếu mở rộng đáy lớn thêm 10cm thì diện tích hình thang sẽ tăng thêm 60cm2. Tính diện tích hình thang ABCD.
Bài 4. Cho hình thang vuông ABCD (góc A vuông, đáy bé AB) có AB = 6cm, AD = 10cm. Nếu thu hẹp hình thang này thành hình chữ nhật mà vẫn giữ nguyên đáy bé thì diện tích giảm đi 40cm2. Tính diện tích hình thang ban đầu.
Bài 5. Cho hình thang ABCD có đáy bé AB =1dm, nếu giảm đáy lớn đi 8cm thì diện tích giảm đi 64cm2 đồng thời ta được một hình bình hành. Tìm diện tích hình thang.
Bài 6. Có một hình vuông và một hình chữ nhật. Cho biết cạnh hình vuông bằng chiều dài hình chữ nhật. Chu vi hình vuông lớn hơn chu vi hình chữ nhật là 32m. Diện tích hình vuông lớn hơn diện tích hình chữ nhật là 384m2. Tính diện tích mỗi hình.
Bài 7. Cho một hình chữ nhật, nếu ta giảm chiều dài đi 5cm và tăng chiều rộng thêm 5cm thì ta được một hình vuông có diện tích 144cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.
