Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một bộ gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát:
Trong đó:
- x và y là hai ẩn số.
- a, b, c, a’, b’, c’ là các số cho trước (hệ số), với điều kiện a, b không đồng thời bằng 0 (a^2 + b^2 khác 0) và a’, b’ cũng không đồng thời bằng 0 (a’^2 + b’^2 khác 0).
Nghiệm của hệ: Nếu một cặp số $(x_0; y_0)$ đồng thời thỏa mãn (làm cho vế trái bằng vế phải) cả hai phương trình của hệ thì cặp số đó được gọi là một nghiệm của hệ phương trình. Giải một hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Mối quan hệ với hình học (Đồ thị):
Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn thực chất biểu diễn một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Gọi đường thẳng thứ nhất là (d): ax+by=c và đường thẳng thứ hai là (d’): a’x+b’y=c’. Số nghiệm của hệ chính là số điểm chung (giao điểm) của hai đường thẳng này:
2. Các dạng bài tập về Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Các bài tập về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình lớp 9 và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thường xoay quanh 4 dạng toán chính sau:
Dạng 1: Giải hệ phương trình cơ bản (không chứa tham số)
Đây là dạng bài cơ bản nhất, yêu cầu sử dụng hai phương pháp biến đổi đại số cốt lõi:
- Phương pháp thế: Rút một ẩn từ phương trình này biểu diễn theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình còn lại để đưa về phương trình một ẩn duy nhất.
- Phương pháp cộng đại số: Nhân hai vế của phương trình với một số thích hợp sao cho các hệ số của cùng một ẩn đối nhau hoặc bằng nhau, sau đó cộng hoặc trừ hai phương trình vế theo vế để triệt tiêu đi một ẩn.
Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ (Hệ quy về bậc nhất)
Dạng toán này thường xuất hiện trong các câu phân loại cơ bản của đề thi vào lớp 10. Hệ phương trình ban đầu nhìn phức tạp (chứa ẩn ở mẫu, chứa căn thức hoặc các biểu thức lũy thừa), nhưng thực chất các cụm ẩn lặp lại giống nhau.
Dạng 3: Bài toán chứa tham số (Biện luận số nghiệm và điều kiện nghiệm)
Hệ phương trình lúc này sẽ xuất hiện thêm một chữ cái m (gọi là tham số). Các câu hỏi thường gặp:
- Yêu cầu 1: Biện luận hoặc tìm m để hệ có nghiệm duy nhất / vô nghiệm / vô số nghiệm. Ta thường sử dụng phương pháp thế để đưa về một phương trình bậc nhất một ẩn theo x (hoặc y) rồi biện luận phương trình đó theo tham số m.
- Yêu cầu 2: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn một điều kiện cho trước.
-
- Cách giải: Dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số để giải tìm x và y theo biểu thức chứa đại lượng $m$. Sau đó thay biểu thức của x và y này vào điều kiện đề bài yêu cầu để giải phương trình/bất phương trình tìm m.
Dạng 4: Giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình
Chuyển đổi bài toán bằng lời văn thực tế thành ngôn ngữ toán học với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Các bước giải:
- Bước 1 (Lập hệ): Chọn hai đại lượng cần tìm làm ẩn x, y. Đặt đơn vị và điều kiện thích hợp cho ẩn (ví dụ: số người phải là số nguyên dương, vận tốc phải lớn hơn 0…). Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo x, y và dữ kiện đề bài. Lập ra hai phương trình từ mối quan hệ của chúng để tạo thành hệ.
- Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập.
- Bước 3: Đối chiếu các giá trị tìm được với điều kiện ban đầu, loại nghiệm không thỏa mãn và viết câu trả lời.
- Các chủ đề thực tế phổ biến:
- Toán chuyển động: Tính vận tốc, quãng đường, thời gian (ngược dòng, xuôi dòng, chuyển động đồng thời).
- Toán công việc làm chung, làm riêng: Năng suất làm việc của công nhân hoặc vòi nước chảy vào bể.
- Toán phần trăm, năng suất: Tăng trưởng dân số, tăng năng suất cây trồng, tính giá tiền sau khi giảm giá/khuyến mãi.
- Toán hình học: Tính chiều dài, chiều rộng khi biết chu vi, diện tích thay đổi.
>> Hệ phương trình là gì? Vì sao chúng ta phải học toán hệ phương trình? (toán lớp 9)
