Bài toán khó nhất thế giới đã được rất nhiều sự công nhận và chú ý bởi vì người ta đã không thể giải được chúng trong nhiều năm.
Thực ra, có hai bài toán khó nhất thế giới là Giả thuyết Riemann và Định lý Fermat.
Trong khi Giả thuyết Giả thuyết Riemann vẫn chưa được giải quyết (năm 2018 có nhà toán học Anh tuyên bố giải được nhưng chưa được chứng minh và công nhận), định lý Fermat, một trong những vấn đề toán học khó nhất thế giới, chỉ được giải quyết vào năm 1995.
Giả thuyết Riemann (theo tên của nhà toán học người Đức ở thế kỷ 19, Bernhard Riemann) cung cấp một sự ước đoán chính xác hơn rất nhiều về số lượng số nguyên tố nhỏ hơn một số cho trước. Tuy nhiên, cũng giống như các giả thuyết trên, dù đã được chứng minh là đúng với hàng tỷ trường hợp, nó vẫn chưa được chứng minh tổng quát.
Theo giả thuyết này, hàm zeta ζ (s) = 1 / 1s + 1 / 2s + 1 / 3s + 1 / 4s +…. đến vô cùng, là hàm số cho chúng ta dự đoán đúng tập số nguyên tố.
Hàm zeta Riemann ζ(s) là hàm với đối số s là một số phức bất kỳ khác 1, và giá trị của hàm cũng là giá trị phức. Các không điểm của hàm (nghiệm) bao gồm tại các số nguyên âm; tức là ζ(s) = 0 khi s nhận các giá trị −2, −4, −6, …. Chúng được gọi là các không điểm tầm thường.
Tuy nhiên, các số nguyên âm không phải là các nghiệm duy nhất của hàm zeta; và những nghiệm này gọi là không điểm phi tầm thường hay “không điểm không tầm thường”. Giả thuyết Riemann đề cập đến vị trí của các không điểm phi tầm thường này, và phát biểu rằng:
Phần thực của mọi không điểm không tầm thường của hàm zeta Riemann là bằng 1/2.
Vì là một bài toán cực khó, quan trọng nên Viện Toán học Clay đã treo thưởng 1 triệu USD cho ai giải được Giả thuyết Riemann.
Định lý Fermat do nhà toán học người Pháp thế kỷ thứ 17 Pierre de Fermat đưa ra.
Trong đó, định lý Fermat có thể đề cập đến một trong các định lý sau:
- Định lý lớn Fermat về nghiệm nguyên của an + bn = cn
- Định lý nhỏ Fermat về tính chất của số nguyên tố
- Định lý Fermat về tổng của hai số chính phương về số nguyên tố hình thành từ tổng của các số chính phương
- Định lý Fermat về điểm dừng, về cực đại và cực tiểu địa phương của phương trình vi phân
- Nguyên lý Fermat, về đường đi của tia sáng
- Định lý Fermat về số đa giác đều về cách biễu diễn số nguyên thành tổng của các số đa giác đều.
Gắn liền với định lý này là câu chuyện rất hay, đó là Fermat cho rằng không thể tìm được nghiệm (nguyên) cho phương trình bậc ba. Điều lý thú ở đây là phỏng đoán này được Fermat ghi bên lề một cuốn sách mà không chứng minh, nhưng có kèm theo dòng chữ: “Tôi có một phương pháp rất hay để chứng minh cho trường hợp tổng quát, nhưng không thể viết ra đây vì lề sách quá hẹp.”
Với những dòng viết tay đó, nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat đã chính thức buông lời thách đố đối với thế hệ các nhà toán học sau ông. Nhiều nhà toán học đã dành cả cuộc đời để cố chứng minh định lý phát biểu nghe có vẻ hết sức đơn giản này.
Hành trình mấy trăm năm để giải lời thách đố, cùng với sự phức tạp của lời giải hàng trăm trang, từ bao thế hệ các nhà toán học đã làm người ta vừa nghi ngờ dòng ghi chú của Fermat, vừa tò mò, thán phục ông.
Trong lịch sử công cuộc tìm lời giải cho “Định lý cuối cùng của Fermat” có người phải tự tử và có những người tự lừa chính mình. Cuối cùng sau gần 4 thế kỷ, nhà toán học người Anh, Andrew Wiles cũng công bố lời giải độc nhất vô nhị vào mùa hè năm 1993 và bản chỉnh sửa cuối cùng vào năm 1995, với lời giải dài 200 trang.
