Cách tính tổng một dãy số liên tiếp là một dạng toán tiểu học phổ biến bắt đầu từ lớp 3. Cùng với đó thường đi kèm câu hỏi số hạng đứng thứ n là số nào.
Tính tổng của dãy số cách đều
Thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy – số hạng bé nhất của dãy): khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1
Lưu ý: nếu là dãy số liên tiếp thì khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy là 1.
Bước 2: Tính tổng của dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy) x số số hạng có trong dãy : 2
Ví dụ 1: Tính giá trị của A biết:
A = 1 + 2 + 3 + 4 + ……………………… + 2014.
Bài giải
Dãy số trên có số số hạng là:
(2014 – 1) : 1 + 1 = 2014 (số hạng)
Giá trị của A là:
(2014 + 1) x 2014 : 2 = 2029105
Đáp số: 2029105
Ví dụ 2: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12; ……………
Tìm số hạng thứ 2014 của dãy số trên?
Phân tích: Từ bước 1 học sinh sẽ tìm ra cách tìm số hạng lớn nhất trong dãy là: Số hạng lớn nhất = (Số số hạng trong dãy – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp + số hạng bé nhất trong dãy.
Bài giải
Số hạng thứ 2014 của dãy số trên là:
(2014 – 1) x 2 + 2 = 4028
Đáp số: 4028
Ví dụ 3: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là 2013?
Phân tích: Từ bước 1 học sinh sẽ tìm ra cách tìm số hạng bé nhất trong dãy là: Số hạng bé nhất = Số hạng lớn nhất – (Số số hạng trong dãy – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp. Từ đó học sinh sẽ dễ dàng tính được tổng theo yêu cầu của bài toán.
Bài giải
Số hạng bé nhất trong dãy số đó là:
2013 – (50 – 1) x 2 = 1915
Tổng của 50 số lẻ cần tìm là
(2013 + 1915) x 50 : 2 = 98200
Đáp số: 98200
Ví dụ 4: Một dãy phố có 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đó bằng 915. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đó là số nào?
Phân tích: Bài toán cho chúng ta biết số số hạng là 15, khoảng cách của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915. Từ bước 1 và 2 học sinh sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối. Từ đó ta hướng dẫn học sinh chuyển bài toán về dạng tìm số bé biết tổng và hiêu của hai số đó.
Bài giải
Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là:
(15 – 1) x 2 = 28
Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là:
915 x 2 : 15 = 122
Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là:
(122 – 28) : 2 = 47
Đáp số: 47
Với dãy số có dấu trừ (-), ví dụ B=1+2-3+4-5+…+99-100 thì làm thế nào?
Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; ……………………….; 2014.
a, Tính tổng của dãy số trên?
b, Tìm số hạng thứ 99 của dãy?
c, Số hạng 1995 có thuộc dãy số trên không? Vì sao?
Bài 2: Tìm TBC các số chẵn có 3 chữ số?
Bài 3: Tính tổng 60 số chẵn liên tiếp biết số chẵn lớn nhất trong dãy đó là 2010?
Bài 4: Tính tổng 2014 số lẻ liên tiếp bắt đầu bằng số 1?
Bài 5: Tính tổng: 1 + 5+ 9 + 13 +………………….. biết tổng trên có 100 số hạng?
Bài 6: Một dãy phố có 20 nhà. Số nhà của 20 nhà đó được đánh là các số chẵn liên tiếp, biết tổng của 20 số nhà của dãy phố đó bằng 2000. Hãy cho biết số nhà cuối cùng trong dãy phố đó là số nào?
Bài tập Tính nhanh tổng dãy số có quy luật cách đều
Bài 1: Tính nhanh:
- 5 + 10 + 15 + ………… + 2015.
- 1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 12 + ……………. + 96 + 99 + 102.
- 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ……………….. – 48 + 49 – 50 + 51.
- 1,02 + 2,03 + 3,04 + ………………… + 9,10.
- 10,11 + 11,12 + 12,13 + ……………. + 98,99 + 99,100.
(Đề cương bồi dưỡng học sinh có năng khiếu khối 4;5)
Bài 2: Tìm x:
- (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ………… + (x + 99) = 90387
- (1 + 4 + 7 + …………………….. + 100) : x = 17
- 1 + 2 + 3 + ……………………… + x = aaa
(Đề cương bồi dưỡng học sinh có năng khiếu khối 4;5)
Bài 3: Cho dãy số: 1; 4; 7; …………………. ; 2017.
- Tính tổng của dãy số trên ?
- Tìm số thứ 99 của dãy số ?
- Số 1995 có thuộc dãy số trên không ? Vì sao ?
